Análise combinatória

Fonte e créditos: Uol educação

Para aprender como fazer cálculos de análise combinatória, veja um exercício resolvido:

Escrito há cerca de 3 mil anos, o "I - Ching" ou "Livro das Mutações" apresenta um conjunto de símbolos criados a partir de dois princípios (o masculino Yang, representado por uma linha inteira -, e o feminino Ying, representado por uma linha quebrada - - ).

Entre outras funções, esse conjunto de símbolos permitiria adivinhar o futuro, o que torna o livro muito popular ainda hoje em dia. A base do sistema é um conjunto de três símbolos montados com as linhas Ying e Yang, que se constróem do seguinte modo:

A essas figuras chamadas Pa-Kua (as Oito Mutações), atribuíam-se nomes, características, imagens, papéis numa estrutura familiar, além dos pontos cardeais e colaterais, como se vê a seguir:

Combinando-se dois desses trigramas, obtém-se um hexagrama, figura de significado ainda mais amplo, que constitui a resposta do oráculo a uma pergunta de quem o consulta. Por exemplo:

Sem entrar nas questões de caráter filosófico ou oracular do I-Ching, podemos nos perguntar: quantos hexagramas é possível formar com cada dois trigramas?

Pensando de forma análoga, podemos considerar que se constrói um hexagrama escolhendo seis símbolos de um grupo de dois (linha inteira, linha quebrada). Assim, o total de símbolos será 2⁶ = 64.

Usamos aqui um princípio multiplicativo que é a base da análise combinatória, um conjunto de procedimentos que sistematiza a contagem de agrupamentos.

O princípio fundamental da contagem

Um evento ocorre em n etapas, sucessivas e independentes, de modo que a primeira etapa ocorre de k₁ maneiras, a segunda etapa ocorre de k₂maneiras, ..., e a enésima etapa ocorre de k_n. Então, o evento pode ocorrer de k₁ . k₂, ... . K_n maneiras distintas.

Essa é a versão multiplicativa do princípio: para que ocorra o evento, todas as etapas devem ser cumpridas. Por exemplo: para se escolher um número de três algarismos, devemos escolher o algarismo das unidades e das dezenas e também das centenas - não se podem omitir quaisquer etapas. Se as etapas não forem sucessivas, mas alternativas, o princípio fica enunciado assim:

Um evento ocorre em n etapas, alternativas e independentes, de modo que a primeira etapa ocorre de k₁ maneiras, a segunda etapa ocorre de k₂maneiras, ..., e a enésima etapa ocorre de k_n. Então, o evento pode ocorrer de k₁ + k₂ + ... + K_n maneiras distintas.

Se, para o seu almoço, você pode escolher um lanche com ou sem maionese, então você pode escolher entre dois lanches!

Agrupamentos

De modo geral, pode-se resolver um grande número de situações de contagem usando os princípios fundamentais. No entanto, alguns conjuntos podem ser agrupados por critérios que facilitam a sua compreensão; compreender a que classe de agrupamento pertence a situação que estamos tratando pode facilitar muito a resolução.

Arranjos: são agrupamentos nos quais a ordem dos elementos é relevante. Três pessoas (A, B, C) que se inscrevem em um concurso que premia os dois primeiros lugares podem dar a esse concurso seis classificações distintas:

Observe que duas mesmas pessoas podem terminar o concurso de duas maneiras distintas.

O número de arranjos possíveis de p elementos tirados de um grupo de n elementos, com n  p pode ser escrito como:

Combinações: são agrupamentos em que a ordem dos elementos não é relevante. No exemplo anterior, se as pessoas A, B e C tivessem que se organizar para formar uma comissão de duas pessoas, só haveria três possibilidades : A e B, A e C, B e C. O número de combinações de p elementos tirados de um grupo de n elementos, com n  p é:

As permutações são casos particulares de arranjos em que o número de elementos do agrupamento é igual ao número de elementos disponíveis:

A sistemática da análise combinatória não é novidade. Em toda a história do desenvolvimento matemático do homem aparecem registros de investigações nos cálculos de possíveis agrupamentos:

Na obra de Euclides (300 a.C.) há um método para se encontrar o valor de (1 + x)²;

Além da fórmula resolutiva para equações de 2^o grau, Baskhara descreveu algumas situações práticas em que se permutam possibilidades - na poesia, na arquitetura e na medicina;

Trabalhos do início da Era Cristã relacionados à cabala analisam combinações e permutações entre números inteiros;

Astrônomos da Idade Média calculavam as possíveis conjunções entre dois, três, n planetas,

À época do Renascimento, a pressão das recentes descobertas e necessidades mercantis fizeram com que matemáticos europeus desenvolvessem a sistemática de combinatória na descrição de várias circunstâncias: as possibilidades de n pessoas se sentarem em torno de uma mesa, as combinações possíveis de fechaduras, os agrupamentos possíveis de objetos e, naturalmente, as chances nos jogos de azar.

Apesar de tantas outras motivações, foi o interesse pelos jogos de azar a grande motivação para o desenvolvimento da análise combinatória, nos trabalhos de Pascal e Fermat. Naturalmente, outros ramos da matemática usaram esse conhecimento e vieram a se desenvolver: a probabilidade, a teoria de grafos, os conjuntos e a criptologia. A chance de jogos como a MegaSena é um saber relacionado à análise combinatória.